自社サイトに設置したボタンでプレイヤーを再生できますか？

こちらはビデオグのプレイヤーコマンドを使い、お客様にてスクリプトを設定いただくことで実現可能でございます。

プレーヤーコマンドは、ビデオグのプレーヤーの再生・一時停止等の操作をお客様のご自由に行う機能です。
プレイヤーコマンドのご利用方法につきましては、こちらをご参照ください。